Karakteristik Matematika 

Jika ditanyakan “matematika itu apa?”, mungkin 1000 orang akan menjawab dengan 1000 cara yang belum tentu sama. Satu hal yang perlu disadari oleh guru bahwa matematika adalah ilmu dasar yang karena itu meluas dan masuk ke dalam segala aspek kehidupan kita. Singkat kata, matematika memiliki banyak sekali “muka” yang dapat kita kenali. 

Mengutip Sumardyono (2015: 10-11), berikut ini beberapa deskripsi mengenai matematika yang semuanya saling terkait satu dengan yang lain. 

a.  Mathematics is a deductive structure  

Berbeda dengan ilmu dan pengetahuan yang lain, matematika merupakan suatu bangunan struktur yang terorganisir. Sebagai sebuah struktur, ia terdiri dari beberapa komponen yang meliputi aksioma/postulat, pengertian pangkal/primitif, dan dalil/teorema.  Bangunan tersebut dibentuk dengan penalaran yang logis dan deduktif.  

Jika kebenaran dalam sains  ditentukan oleh fakta yang dapat dibenarkan oleh indera manusia, maka kebenaran dalam matematika ditentukan oleh konsistensi dalam sistem deduksinya. Oleh karena itu, kebenaran matematika jauh melebihi kebenaran sains. “Mathematics is the queen of science…” demikian Karl Frederich Gauss menganalogikannya beberapa abad yang lalu.  

b.  Mathematics is a tool  

Matematika juga sering dipandang sebagai alat dalam mencari solusi berbagai permasalahan dalam kehidupan sehari-hari. Dengan matematika, masalah sains dapat dikaji secara lebih teliti dan sistematis. Banyak penemuan di bidang sains yang didukung dan ditopang dengan bantuan matematika. “Mathematics is … the servant of science…” demikian pula ungkapan Karl Frederich Gauss. 

c.  Mathematics is a way of thinking 

Matematika dapat pula dipandang sebagai cara bernalar. Matematika memiliki cara sendiri dalam pembuktian yang sahih (valid). Pembuktian dan pemecahan masalah di dalam matematika memiliki kekhasan tersendiri, yang dengannya hasil penalaran matematis jauh lebih bisa diandalkan (valid) dibanding tanpa menggunakan cara berpikir matematis.  

d.  Mathematics is a (artificial) language 

Penggunaan simbol merupakan ciri paling menonjol dalam matematika. Bahasa matematika adalah bahasa simbol yang bersifat artifisial, yang baru memiliki arti bila dikenakan pada suatu konteks.  Namun, inilah mengapa kemudian matematika memiliki power yang luar biasa.  

e.  Mathematics is a study of pattern  

Pola (pattern) merupakan kajian matematika, karena apa pun yang dikaji dalam matematika mengikuti pola-pola tertentu secara abstrak sebagai hasil generalisasi dan idealisasi. Istilah lain yang berkaitan dengan pola adalah bentuk, aturan, sistematis, teratur, atau model. Tanpa mengenal pola, sebenarnya matematika tidak mempelajari apa-apa. 

f.  Mathematics is a creative art 

Penalaran yang logis dan efisien serta perbendaharaan ide-ide  serta  pola-pola yang kreatif dan menakjubkan, maka matematika sering pula disebut sebagai seni, khususnya merupakan seni berpikir yang kreatif.  Selain itu, buah dari pemikiran itu juga dapat ditampakkan secara geometris, yang menyuguhkan seni kreatif tersendiri. Sebagai contoh pola-pola geometris, kurva-kurva cantik dari persamaan matematika, dan sejenisnya. Selain itu, sifat  indah,  cermat, efektif, efisien,  juga menggugah pikiran dan rasa,  yang kesemuanya ini mirip dengan rasa seni, yaitu merasakan kenyamanan  (enjoy) untuk bertahan dalam bekerja matematika.  

g.  Mathematics is a culture 

Matematika tidak dapat dipungkiri tidaklah turun dari langit. Matematika seperti juga ilmu  pengetahuan  lain, memiliki sejarahnya sendiri. Matematika juga memiliki asal usul dan tokoh-tokoh penemu/perintis. Bahkan dengan mempelajari sejarah dan evolusinya, kita dapat mengenal dan memahami matematika dengan lebih baik.  

h.  Mathematics is a rule of nature 

Tidak saja aspek kehidupan manusia yang disentuh dengan matematika. Seperti kata pepatah tokoh Yunani kuno, “Number rules nature”  atau “God is a mathematician”, maka matematika berada di balik banyak fenomena dan penampakan alam. Kita dapat menemukan matematika  dalam proses sintesis tumbuhan, dalam peredaran benda-benda langit di alam semesta, bahkan dalam tubuh kita sendiri.

Dengan banyaknya deskripsi matematika di atas, mengindikasikan bahwa matematika telah masuk dan ada dalam setiap aspek kehidupan manusia.  Sebagai implikasinya, matematika itu sendiri terus berkembang dengan berbagai cabangnya.  

Jika mula-mula matematika dikenal lewat kegiatan berhitung, kemudian bercabang menjadi teori bilangan, geometri, aljabar, dan kalkulus, kini matematika sudah sedemikian berkembang menjadi berbagai macam cabang kajian. Salah satu klasifikasi cabang matematika yang banyak diacu berasal dari AMS. Berdasarkan data dari AMS (American Mathematics Society) sudah terdapat puluhan cabang besar matematika yang dikaji dewasa ini, mulai dari cabang filsafat matematika hingga cabang pendidikan matematika. Klasifikasi kajian matematika yang dikenal dengan nama MSC (Mathematical Subject Clasification) ini memiliki aturan untuk mengidentifikasi kajian apa saja yang terkait matematika dan sudah banyak banyak dipergunakan dalam penulisan berbagai makalah hasil kajian matematika.

Klasifikasi Kajian Matematika (AMS-MSC)

1. General mathematics  
   
2. History; biography  
   
3. Mathematical logic  
   
4. Combinatorics  
   
5. Ordered structures  
   
6. General algebraic systems  
   
7. Number theory   
   
8. Field theory and polynomials  
   
9. Commutative algebra  
   
10. Algebraic geometry  
    
11. Linear  and multilinear algebra; matrix theory 
    
12. Associative rings and algebras  
    
13. Nonassociative rings and algebras  
    
14. Category theory, homological algebra 
    
15. K-theory  
    
16. Group theory and generalizations  
    
17. Topological groups, Lie groups   
    
18. Real functions  
    
19. Measure and integration   
    
20. Functions of a complex variable  
    
21. Potential theory  
    
22. Functions of several complex variables and analytic spaces 
    
23. Special functions  
    
24. Ordinary differential equations (ODE) 
    
25. Partial differential equations (PDE) 
    
26. Dynamical systems and ergodic theory 
    
27. Difference and functional equations 
    
28. Sequences, series, summability  
    
29. Approximation and expansions  
    
30. Fourier analysis  
    
31. Abstract harmonic analysis  
    
32. Integral transforms, operational calculus 
    
33. Integral equations 
    
34. Functional analysis 
    
35. Operator theory 
    
36. Calculus of variations and optimal control; optimization 
    
37. Geometry 
    
38. Convex and discrete geometry 
    
39. Differential geometry
    
40. General topology 
    
41. Algebraic topology 
    
42. Manifolds and cell complexes 
    
43. Global analysis, analysis on manifolds 
    
44. Probability theory and stochastic processes 
    
45. Statistics 
    
46. Numerical analysis 
    
47. Computer science 
    
48. Mechanics of particles and systems 
    
49. Mechanics of deformable solids
    
50. Fluid mechanics 
    
51. Optics, electromagnetic theory
    
52. Classical thermodynamics, heat transfer 
    
53. Quantum Theory 
    
54. Statistical mechanics,  structure of matter 
    
55. Relativity and gravitational theory 
    
56. Astronomy and astrophysics 
    
57. Geophysics 
    
58. Optimization 
    
59. Game theory, economics, social and behavioral sciences 
    
60. Applications of mathematics to Biology and other natural sciences 
    
61. Systems theory; control 
    
62. Information and communication, circuits 
    
63. Mathematics education 
    

Dengan begitu banyaknya deskripsi matematika dan cabang matematika di atas, sesungguhnya apa saja yang menjadi kekuatan matematika? Untuk itu, perlu diketahui beberapa karakteristik matematika.

Pada Permendikbud no. 058 tahun 2014, Lampiran III, disebutkan bahwa beberapa karakteristik matematika, antara lain:  

a.  Objek yang dipelajari abstrak.  

Sebagian besar yang dipelajari dalam matematika adalah angka atau bilangan yang secara nyata tidak ada atau merupakan hasil pemikiran otak manusia.  

b.  Kebenarannya berdasarkan logika.   

Kebenaran dalam matematika adalah kebenaran secara logika bukan empiris. Artinya kebenarannya tidak dapat dibuktikan melalui eksperimen seperti dalam ilmu fisika atau biologi. Contohnya nilai  ??2  tidak dapat dibuktikan dengan kalkulator, tetapi secara logika ada jawabannya sehingga bilangan tersebut dinamakan bilangan imajiner (khayal).  

c.  Pembelajarannya secara bertingkat dan kontinu.  

Pemberian atau penyajian materi matematika disesuaikan dengan  tingkatan pendidikan dan dilakukan secara terus-menerus. Artinya dalam mempelajari matematika harus secara berulang melalui latihan-latihan soal.  

d.  Ada keterkaitan antara materi yang satu dengan yang lainnya.  

Materi yang akan dipelajari harus memenuhi atau menguasai materi sebelumnya. Contohnya ketika akan mempelajari tentang volume atau isi suatu bangun ruang maka harus menguasai tentang materi luas dan keliling bidang datar.  

e.  Menggunakan bahasa simbol.  

Dalam matematika penyampaian materi menggunakan simbol-simbol yang telah disepakati dan  dipahami secara umum. Misalnya penjumlahan menggunakan simbol “+” sehingga tidak terjadi dualisme jawaban.  

f.  Diaplikasikan di bidang ilmu lain.  

Materi matematika banyak digunakan atau diaplikasikan dalam bidang ilmu lain. Misalnya materi fungsi digunakan dalam ilmu ekonomi untuk mempelajari fungsi permintaan dan fungsi penawaran.  

Melengkapi karakteristik matematika di atas, mengutip Sujadi dalam Sumardyono (2015) dinyatakan bahwa matematika memiliki beberapa karakteristik  sebagai berikut ini.  

a.  Memiliki objek kajian yang abstrak  

Matematika mempunyai objek kajian yang bersifat abstrak, walaupun tidak setiap objek abstrak adalah matematika. Sementara beberapa matematikawan menganggap objek matematika itu “konkret” dalam pikiran mereka, maka kita dapat menyebut objek matematika secara lebih tepat sebagai objek mental atau pikiran. Ada empat objek kajian matematika, yaitu fakta, operasi (atau relasi), konsep, dan prinsip.  

Fakta adalah pemufakatan atau konvensi dalam matematika yang biasanya diungkapkan lewat simbol tertentu. Konsep adalah idea abstrak yang dapat digunakan untuk menggolongkan atau mengategorikan sekumpulan objek, yaitu apakah objek tertentu merupakan contoh konsep atau bukan. Operasi adalah pengerjaan hitung, pengerjaan aljabar, dan pengerjaan matematika lainnya. 

Sementara relasi adalah hubungan antara dua atau lebih elemen. Prinsip adalah objek matematika yang kompleks, yang terdiri atas beberapa fakta dan beberapa konsep yang dikaitkan oleh suatu relasi atau pun operasi. Secara sederhana dapatlah dikatakan bahwa prinsip merupakan hubungan antara berbagai objek dasar matematika, contoh prinsip adalah dalil/teorema. 

 b.  Bertumpu pada kesepakatan  

Simbol dan istilah dalam matematika merupakan kesepakatan atau konvensi yang penting. Dengan  simbol  dan istilah yang telah disepakati dalam matematika, maka pembahasan selanjutnya akan menjadi mudah dilakukan dan dikomunikasikan. Bagaimana asal kesepakatan tidak seperti di dalam ilmu sains yang seringkali ditentukan oleh sebuah organisasi sains, kesepakatan di matematika lebih ditentukan oleh perjalanan sejarah.

Contoh.  

Lambang  bilangan  yang digunakan sekarang: “1”, “2”, “3”, dan seterusnya merupakan contoh sederhana sebuah kesepakatan dalam matematika. Istilah “fungsi” kita batasi pengertiannya sebagai aturan yang mengawankan setiap elemen dari himpunan yang satu ke tepat sebuah elemen di himpunan yang lain. 

Pengertian fungsi di atas merupakan contoh kesepakatan dalam matematika.  

Dalam matematika, kesepakatan atau konvensi merupakan tumpuan yang amat penting.  Kesepakatan  yang amat mendasar adalah aksioma (postulat, 

pernyataan pangkal yang tidak perlu pembuktian) dan konsep primitif (pengertian pangkal yang tidak perlu didefinisikan,  undefined term).  Aksioma diperlukan untuk menghindari pembuktian yang berputar-putar (circulus in probando). Sedangkan konsep primitif diperlukan untuk menghindari pendefinisian yang berputar-putar (circulus difiniendo). 

c.  Berpola Pikir Deduktif  

Dalam matematika hanya diterima pola pikir yang bersifat deduktif.  Dalam pembuktian secara deduktif, penarikan kesimpulan didasarkan pada logika yang jelas dan sahih (valid). Pola pikir yang menjadi dasar penarikan kesimpulan itu bersifat umum dan konsisten.  

Contoh.  

“Teorema Pythagoras” dapat “ditemukan” melalui pengamatan atau percobaan. 

Hasil  pengamatan tersebut harus dibuktikan secara deduktif untuk menjadi suatu teorema, tentu saja dengan menggunakan teorema dan definisi terdahulu yang telah diterima kebenarannya. Pembuktian deduktif ini merupakan salah satu contoh pola pikir deduktif.  

d.  Konsisten dalam Sistemnya  

Dalam matematika terdapat berbagai macam sistem yang dibentuk dari beberapa aksioma dan memuat beberapa teorema. Ada sistem-sistem yang berkaitan, ada pula sistem-sistem yang dapat dipandang lepas satu dengan lainnya. Sistem-sistem aljabar dengan sistem-sistem geometri dapat dipandang lepas satu dengan lainnya. Di dalam sistem aljabar terdapat pula beberapa sistem lain yang lebih “kecil” yang berkaitan satu dengan lainnya. Demikian pula di dalam sistem geometri.  

Di dalam masing-masing  sistem berlaku ketaatazasan atau konsistensi, dalam pengertian  bahwa  dalam setiap sistem tidak boleh terdapat kontradiksi. Konsistensi itu baik dalam makna maupun dalam hal nilai kebenarannya.  

Contoh. 

Di dalam  teori bilangan dikenal adanya sistem bilangan real, dalam  aljabar terdapat misalnya sistem lapangan (field). Di dalam geometri, misalnya terdapat terdapat sistem geometri Euclid (geometri datar).  

Memiliki simbol yang kosong dari arti  Banyak  terdapat simbol, baik yang berupa huruf Latin, huruf Yunani, maupun simbol-simbol khusus lainnya  di dalam matematika. Simbol-simbol tersebut membentuk kalimat dalam matematika yang biasanya disebut model matematika. Model matematika dapat berupa persamaan, pertidaksamaan, maupun fungsi. Selain itu ada pula model matematika yang berupa gambar (pictorial) seperti bangun-bangun geometrik, grafik, maupun diagram.  

Contoh.  

Contoh.  

Model matematika, seperti x+y=z  tidak selalu berarti bahwa  x,  y, dan  z adalah sebuah  bilangan. Secara sederhana, bilangan-bilangan yang biasa digunakan dalam pembelajaran pun bebas dari arti atau makna real. Bilangan tersebut dapat berarti panjang, jumlah barang, volum, nilai uang, dan lain-lain tergantung pada konteks di mana bilangan itu diterapkan.  

Jadi simbol matematika sesungguhnya kosong dari arti, yang  akan bermakna sesuatu bila kita mengkaitkannya dengan konteks tertentu. Walaupun demikian, sering terjadi banyak peserta didik masih  cukup terikat dengan makna yang pertama kali atau yang biasa diajarkan oleh gurunya.  

f.  Memperhatikan Semesta Pembicaraan  

Sehubungan dengan kekosongan arti dari simbol-simbol matematika, maka bila kita menggunakannya kita seharusnya memperhatikan pula lingkup 

pembicaraannya. Lingkup atau sering disebut semesta pembicaraan bisa sempit bisa pula luas. Apa yang kita sebut semesta pembicaraan adalah himpunan yang kita tetapkan sebagai daerah asal elemen-elemen matematika yang kita operasikan. Bila kita berbicara tentang bilangan-bilangan, maka simbol-simbol untuk elemennya menunjukkan bilangan-bilangan pula. Benar salahnya atau ada tidaknya penyelesaian suatu soal atau masalah, juga ditentukan oleh semesta pembicaraan yang digunakan.  

Contoh.  

Dalam semesta himpunan bilangan bulat, terdapat model  2x = 3. Adakah penyelesaiannya? Bila diselesaikan seperti biasa, tanpa menghiraukan semesta pembicaraanya, maka diperoleh x  =  1,5.  Tetapi 1,5 bukan bilangan bulat. Jadi dalam hal ini dikatakan bahwa model tersebut tidak memiliki penyelesaian dalam semesta pembicaraan  bilangan bulat.  Dapat  pula  dikatakan penyelesaiannya adalah “himpunan kosong”.

2.  Karakteristik Matematika Sekolah 

Sehubungan dengan karakteristik umum matematika di atas, dalam pelaksanaan pembelajaran matematika di sekolah harus memperhatikan ruang lingkup matematika sekolah. Ada sedikit perbedaan antara matematika sebagai “ilmu” dengan matematika sekolah, perbedaan itu dalam hal penyajian, pola pikir, keterbatasan semesta, dan tingkat keabstrakan.  

a.  Penyajian 

Penyajian matematika tidak harus diawali dengan teorema maupun definisi, tetapi haruslah disesuaikan dengan perkembangan intelektual siswa.  

Contoh.  

Ketika menyajikan topik dalam teori peluang semisal “kejadian”, “ruang sampel”, “kejadian bebas”, dan lain-lain hendaknya tidak langsung kepada definisi atau teorema. Agar lebih bermakna bagi siswa, pendekatan konkret atau induktif dengan melakukan percobaan sederhana.  

b. Pola pikir 

Pembelajaran matematika sekolah dapat menggunakan pola pikir deduktif maupun pola pikir induktif. Hal ini harus disesuaikan dengan topik bahasan dan tingkat intelektual siswa.  

c. Semesta Pembicaraan 

Sesuai dengan tingkat perkembangan intelektual siswa, maka matematika yang disajikan dalam jenjang pendidikan juga menyesuaikan dalam kekompleksan semestanya. Semakin meningkat tahap perkembangan intelektual siswa, maka semesta pembicaraan matematikanya semakin diperluas. 

Contoh.  

Sehubungan dengan keterbatasan semesta bilangan,  pada jenjang  SMP belum diperkenalkan tentang bilangan imajiner atau kompleks. Hal ini juga berimplikasi pada penyelesaian soal matematika yang dibatasi pada himpunan bilangan real.  

d. Tingkat keabstrakan.   

Seperti pada poin sebelumnya, tingkat keabstrakan matematika juga harus disesuaikan dengan tingkat perkembangan intelektual siswa.  

Contoh.  

Dalam membuktikan Teorema Pythagoras, siswa tidak langsung diarahkan pada bukti deduktif yang bersifat abstrak/formal dengan menggunakan lambang-lambang aljabar. Bukti secara geometris  akan sangat membantu siswa memahami Teorema Pythagoras dan kebenarannya. Banyak sekali bukti Teorema Pythagoras secara geometris yang cukup menarik dan mudah dimengerti siswa.